エナブラおじさんの煽りは1行目と2行目が繋がってないのばかりで
一目で精神障害者だと分かるね

α＝1項目
β＝2項目
γ＝3項目
とすれば

0＜α＜1，0＜β＜1，0＜γ＜1
(αβγ)²＝(1−α²)(1−β²)(1−γ²)

この条件下でのα＋β＋γの範囲を求めればよい
後は頼んだ

a+x=p, ax=q とおくと問題は

正の実数 p,q が p > 2√q を満たすとき
1 < √((2+q)/(1+p+q) +2/√(1+p+q) ) + 1/√(1+8/q) < 2 を示すことと同値

まず q を固定して p のみ変化させて式の上限と下限について分析し(q の値による場合分けが必要), その後 q も変化させて分析すると示せるがスマートな証明ではない

>No.124201
正しくは 8(αβγ)²＝(1−α²)(1−β²)(1−γ²) かな？ちょっと試したけどスマートな方法はまだ見つかってない
また α=cosθ, β=cosφ, γ=cosψ とおくと問題は

正の実数 θ,φ,ψ が 0＜θ＜π/2，0＜φ＜π/2，0＜ψ＜π/2 および tanθ tanφ tanψ = 2√2 を満たすとき
1 < cosθ + cosφ + cosψ < 2

を示すことと同値になるけどそこからスマートに示す方法はまだ見つかってない

この問題は最大や最小がα=β=γの所にないので
不等式の証明でよくある相加相乗平均の関係とかコーシーシュワルツ不等式とかを使った証明とは別のアプローチが必要そう

エレガントな回答ないんでしょうか

>0＜α＜1，0＜β＜1，0＜γ＜1
>8(αβγ)²＝(1−α²)(1−β²)(1−γ²)
>この条件下でのα＋β＋γの範囲を求めればよい

α＋β＋γ≦1 とする
β＋γ ≦ 1-α < 1-α²,
同様に γ＋α<1-β²,α＋β<1-γ² なので辺々掛け合わせると (α＋β)(β＋γ)(γ＋α) < (1-α²)(1-β²)(1-γ²)
左辺は相加相乗平均の関係より (α＋β)(β＋γ)(γ＋α) ≧ 2√(αβ)2√(βγ)2√(γα) = 8αβγ > 8(αβγ)² となるので
8(αβγ)² < (1-α²)(1-β²)(1-γ²) となり矛盾

α＋β＋γ≧2 とする
1-α² = (1+α)(1-α) < 2(1-α) ≦ 2(β＋γ-1) = 2{βγ-(1-β)(1-γ)} < 2βγ
同様に 1-β²<2γα,1-γ²<2αβ なので辺々掛け合わせると (1-α²)(1-β²)(1-γ²) < 8(αβγ)² となり矛盾

よって 1 < α＋β＋γ < 2

数学板には天才もいるからね。天才をもってしても解けないらしいね。

不等式の証明に背理法使うことあるんだ

>>0＜α＜1，0＜β＜1，0＜γ＜1
>>8(αβγ)²＝(1−α²)(1−β²)(1−γ²)
>>この条件下でのα＋β＋γの範囲を求めればよい
>α＋β＋γ≦1 とする
>β＋γ ≦ 1-α < 1-α²,
>同様に γ＋α<1-β²,α＋β<1-γ² なので辺々掛け合わせると (α＋β)(β＋γ)(γ＋α) < (1-α²)(1-β²)(1-γ²)
>左辺は相加相乗平均の関係より (α＋β)(β＋γ)(γ＋α) ≧ 2√(αβ)2√(βγ)2√(γα) = 8αβγ > 8(αβγ)² となるので
>8(αβγ)² < (1-α²)(1-β²)(1-γ²) となり矛盾
>α＋β＋γ≧2 とする
>1-α² = (1+α)(1-α) < 2(1-α) ≦ 2(β＋γ-1) = 2{βγ-(1-β)(1-γ)} < 2βγ
>同様に 1-β²<2γα,1-γ²<2αβ なので辺々掛け合わせると (1-α²)(1-β²)(1-γ²) < 8(αβγ)² となり矛盾
>よって 1 < α＋β＋γ < 2
これは時間無制限でも導きかねるわ
ましてや入試で解けは相当の無理難題

三項めの8が使えそうですね

簡単でしょ
a=x=1 であるとき最大値になり、1.71にしかならないし
a=X=∞であるとき最小値になり、1より小さくならない

もし整数と言う条件でないとしたら、問題は嘘である
「極限の０×無限大」という形は、極限の世界では 未定形 で、
0にも、有限値にも、無限大にもなり得ます。
例えば、変数 を使って
• 結果が 0 になる例：a=1/n^2 x=n ax=0

• 結果が 1 になる例：a=1/n X=n ax=1

• 結果が ∞ になる例：a=1/n x=n^2 ax=無限大

つまり、
「0 に近づくもの × ∞ に発散するもの」から作られる数式の結果は、
設計次第で 0 にも 1 にも 2 にも 100 にも ∞ にもできる。

AIに問題の画像アップロードしたら
あっさり証明しちゃったぞｗ

整数ではなくて独立という条件では？

3次方程式の解と係数の関係使えないでしょうか

設問が極めて異常で、「不等式」の前提にあり、不等なんだから決して満たされません。