階差数列が1,1,1,2,2,2,3,3,3…だから
a_n=1+��(k=1→n-1)[(k+2)/3]とかになるの？

>階差数列が1,1,1,2,2,2,3,3,3…だから
>a_n=1+∑(k=1→n-1)[(k+2)/3]とかになるの？
1,1,1,2,2,2,3,3,4…だから違う
オンライン整数列大辞典にも以下のページに載っているけど
https://oeis.org/A002984
一般項は載ってないから解くのは難しそう

どうもです。ルートとガウス記号を絡めた数列の問題は大学入試なんかでもしばしば出されてるんですが、やはり「a_n自体に」ルートもガウス記号もかかってる、というのは、漸化式の難易度が全く違ってくるんでしょうか…

>この漸化式って解けますか？
ランベルトのW関数と床関数を使えば表現できる
床関数は多少融通が利くのでもっとスッキリした表現ができるかも

どうもです。W関数というのは知りませんでした。でもそれでもやはり簡潔な形とは言い難いですね…ちなみにこの一般項の表記というのは有名事実なんでしょうか？それとも貴殿が考案されたものですか？

>ちなみにこの一般項の表記というのは有名事実なんでしょうか？それとも貴殿が考案されたものですか？
上の式は自分で導いたもの
a_nの特定の部分列は単純な式で表せるのでこれを添え字について解いてから誤差項で調整しながら作った

ほぇ〜すごい！
いや実はですね、この漸化式で定められる数列、「どんな素数pに対しても、{a_n}内にpの倍数の項が無数にある」という性質があるらしくて
それを証明できないかと考えていたんです。

仰る通り、{a_n}には、「全ての非負整数kに対し　(2^k)^2　の項があります」。
で、調べてるとこういった性質があるらしいんですよね。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/4%E3%81%AE%E5%86%AA　（性質のところをご覧下さい）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10202444775

この辺りを一般化して示せないかと考えておりまして
よろしければ貴殿の「これを添え字について解いてから誤差項で調整しながら作った」という部分、もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか…？

>1709217007807.png
誤植があったので訂正
W→W^(-1) (W関数ではなくW関数の逆関数を使う)
>No.120460
画像のようにa_nをより細かい整数m,k,lで表す一般項を出してから各々の式を整理してa_n=(g-f)(g+f-1)+(2f-[f])(1+[f])の式を作った
ただしn=1についてはこの式を満たさないので前半の項に床関数をつけてa_n=[(g-f)(g+f-1)]+(2f-[f])(1+[f])とすることでn=1についても等式を満たすように調整した