1からNの数字が書か - 数学＠ふたば

無題Name名無し23/03/05(日)20:02:55No.117850+ 24年2月頃消えます

1からNの数字が書かれたN個のボールがある。
このN個のボールを1から順にエリアAからエリアCへ移動させる方法はいくつあるか？
ただしボールを移動させる際、以下の①,②,③のルールに従う必要がある。

①エリアAからボールを移動できるのはエリアBのみ。
②エリアBからボールを移動できるのはエリアCのみ。
③エリアBに数字kが書かれたボールがあるとき、k未満の書かれたボールはBから移動できない。

例：N=3の時、1,2,3の書かれたボールは
1(A→B),1(B→C),2(A→B),2(B→C),3(A→B),3(B→C)
1(A→B),2(A→B),2(B→C),1(B→C),3(A→B),3(B→C)
1(A→B),2(A→B),2(B→C),3(A→B),3(B→C),1(B→C)
1(A→B),1(B→C),2(A→B),3(A→B),3(B→C),2(B→C)
1(A→B),2(A→B),3(A→B),3(B→C),2(B→C),1(B→C)
の５通りでエリアＡからエリアＣへ移動することができる。

…	1無題Name名無し 23/03/06(月)19:15:36No.117852そうだねx1 1678097736924.gif-(2027 B) エリアAの中で優先度が最も高いボールをエリアBへ移動させる操作を右方向への移動エリアBの中で優先度が最も高いボールをエリアCへ移動させる操作を上方向への移動と捉えると画像における左下から右上まで最短で移動するパターン数と同じなのでN番目のカタラン数となり (2N)! / N!(N+1)! 通りある

…	2無題Name名無し 23/03/09(木)21:40:18No.117870+ AからBへはどのボールでも移動できるけど BからCへは数字が一番大きいボールしか移動できないってこと？

…	3無題Name名無し 23/03/10(金)00:07:32No.117871そうだねx2 N=3の例が全て1から動かしている事と >1から順にエリアAからの表記から明示されていない条件 ④ エリアAに数字kが書かれたボールがあるとき、kより大きい数が書かれたボールはAから移動できない。があると考えられる。 >AからBへはどのボールでも移動できるけど >BからCへは数字が一番大きいボールしか移動できないの条件で考えた場合はN=3のとき30通りになってしまう。

…	4無題Name名無し 23/03/11(土)19:31:13No.117880+ >N=3の例が全て1から動かしている事と >>1から順にエリアAから >の表記から明示されていない条件 >④ エリアAに数字kが書かれたボールがあるとき、kより大きい数が書かれたボールはAから移動できない。 >があると考えられる。これはYesでその条件を分けて改めて書いておけば良かった。一応問題文にボールを"1から順"にエリアAからエリアCへ移動させるとは書いたんだけど、わかりずらかったかも。 ③の条件は、BからCへは一番大きい数字のボールしか移動できないと言い換えても良いね。

…	5無題Name名無し 23/03/11(土)21:52:34No.117881+ これ問題はエリアBしかないけど拡張して、エリアBをB1,B2...Bmと分けて、それぞれのエリアBiでは一番大きい数のボールしか動かせないとすると、どうなるんだろう？一般項とかあるのかな？つまりはA→B→Cではなく、A→B1→B2→...Bm→Cのような系列の場合

…

6無題Name名無し 23/03/11(土)23:49:01No.117882+

>これ問題はエリアBしかないけど拡張して、
>エリアBをB1,B2...Bmと分けて、それぞれのエリアBiでは一番大きい数のボールしか動かせないとすると、どうなるんだろう？一般項とかあるのかな？
>No.117852
の手法を高次元に拡張することにより(m+1)次元カタラン数と一致するので超階乗記号sfを
sf(n):=1!*2!*..*n!
と定義すると求める場合の数は
((m+1)N)!*sf(m)*sf(N-1) / sf(N+m) 通りある
(参考:高次元カタラン数　https://mathlog.info/articles/3114)

…	7無題Name名無し 23/03/11(土)23:58:53No.117883+ 高次元のカタラン数か・・・イメージはできてないが凄いな・・・なるほど、勉強になった。

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