iの2乗は-1ですがiの√2
無題 名無し 12/28 113352

iの2乗は-1ですが
iの√2乗はいくつでしょうか。

無題 名無し 12/29 113353
cos(π/√2)+i sin(π/√2)
無題 名無し 12/29 113354
ほかには?
無題 名無し 12/29 113355
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=i...

ウルフラムのalphaで調べればいいじゃん
無題 名無し 12/29 113356
答えは1つとは限らないです。
複素平面のどこにあるでしょうか。
無題 名無し 12/29 113357
>複素平面のどこにあるでしょうか。
ウルフラムにもあるけど、No.113353の結果から
pi/sqrt(2)=(pi/2)*sqrt(2)だから
半径1で角度90*sqrt(2) degree んとこ
無題 名無し 12/30 113361
主値はその通りですが
主値以外の答えはないでしょうか。
無題 名無し 12/30 113362
theta = pi(2+1/sqrt(2))
cos(theta) + i sin(theta)

ってこと?
無題 名無し 12/31 113363
用意していた答えを書きます。
iの偏角は(2 n + 1/2)πのため (ここでnは任意の整数)、
i^(√2) = exp((2√2 n + 1/√2)iπ)
である。2√2 は無理数のため、nが異なれば異なる数になる。
よって、iの√2乗は複素平面の |z|=1 上に可算無限個存在する。
でした。皆様よいお年を。
無題 名無し 01/03 113370
非可換トーラスとかに無理やり話し持ってきたいの?

無題 名無し 01/04 113371
いえ、それは知らないです。
複素数の無理数乗を自分なりに考えた結果です。
もし間違ってたら訂正していただけると助かります。
無題 名無し 02/11 113434
>である。2√2 は無理数のため、nが異なれば異なる数になる。
>よって、iの√2乗は複素平面の |z|=1 上に可算無限個存在する。
なるほど面白い
一つしか無いと思ってた
無題 名無し 02/15 113454
>iの√2乗は複素平面の |z|=1 上に可算無限個存在する。
いやいや、極形式で表現するから見かけ上多価となるだけ(→関数的平方根)。
換言すれば、極形式では多価になるから主値を以って一意にする(一価として表現する)必要が出てくる。

因みに実軸の負の部分がなぜ正則ではないのかは、平方根関数のリーマン面を見ることで一目瞭然(cross-capとなっている)。
だから、画像のような「間違った証明」が出てくる。
無題 名無し 02/16 113469
ぶっちゃけ、平方根に纏わる話題なのですよ。

-1 の平方根についてなのですが、
複素数(体を成す二元環、即ち二元体となる「二元数」)においては、i と -i だけなのですよ。
というのも、q = a + bi を複素数としてみた場合にその平方(自乗)が -1 に等しいもの
(a + bi)^2 = a^2 + 2ab - b^2 = -1 とすると、(1) a^2 - b^2 = -1 ⋀ (2) 2ab = 0 の条件式全てが成り立つことを意味するのですよ。
ここで、(2)の方程式を満たすためには、(3) a = 0 ⋁ (4) b = 0
のどちらかが必要なのですが、(4)が満たされたとき、a は実数なのに a^2 = -1 を満たさなければならないのはあり得ないので、必然的に (3) a=0 の場合に限られるのですよ。
なので、(1) に a = 0 を代入すれば、-(b^2) = -1 、故に b = ±1 となり、「複素数において -1 の平方根は ±i のみ」となるのですよ。

(続く)
無題 名無し 02/16 113470
(続き)

一方、四元数 q = a + bi + cj + dk では、
(5) a^2 - b^2 - c^2 - d^2 = -1、(6) 2ab = 0、(7) 2ac = 0、(8) 2ad = 0 の条件式全てを成り立たせなければならず、
同様に、(9) a = 0 ⋀ (10) b^2 + c^2 + d^2 = 1 となるのですよ。
これが意味するところは、「四元数において -1 の平方根は f(b,c,d) = b^2 + c^2 + d^2 = 1 の単位球面上に無数に存在する」ということのですよ。
結局のところ、「複素数において -1 の平方根は f(a,b) = a^2 + b^2 = 1 の単位円周上に無数に存在する」訳ではない、ということなのですよ。
無題 ベイズ厨 03/09 113560
お久しぶりです
八元数ではどうなるんでしょうか

続きを見る27日06:59頃消えます
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