数学@ふたば
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無題 Name 名無し 18/12/16(日)22:29:58 No.110791 del + 5月03日頃消えます
eを自然対数の底とする。

e^(3/e) < 4 を示せ。


某大学の入試問題の途中式が上記と同値になるんだけど
これって電卓を使わずに導出出来るの?
無題 Name 名無し 18/12/17(月)10:50:52 No.110792 del +
1/e = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! +1/4! -... は1/eの上限と下限を与える

0< 1/3 < 1/e < 9/24 < 1/2 < 1
この内 1/e < 9/24 と e < 3 を使って
e^(3/e) < 3^(9/8)

あとは 3^(9/8) < 4 を示せば良い
3^(9/8) < 4 ⇔ 3^9 < 4^8 ⇔ 19683 < 65536
無題 Name 名無し 18/12/19(水)21:50:38 No.110818 del +
高校数学の範囲だと厳しいの?
無題 Name 名無し 18/12/20(木)08:44:31 No.110821 del +
両辺をe乗する
e^3<4^eを示せばよい
e=2.7…だから 2<e<3⇒ 2^3<e^3<3^3
つまり 8<e^3<27
4^e=2^2e 、2e=5.4…だから 5<2e<6
⇒2^5<2^2e<2^6 つまり32<2^2)<64
e^3<4^eが成立する

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