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無題 Name 名無し 18/09/28(金)20:33:57 No.110159 del 2月06日頃消えます
大学入試良問スレ
tan1°は有理数か
(2006 京都大学)
シンプルな問題の中に
・tan1が無理数であるという予想を立てる能力
・帰納法と背理法を結びつける能力
が問われてるこの問題本当に好き
削除された記事が2件あります.見る
無題 Name 名無し 18/09/29(土)00:10:08 No.110160 del
【問題1】tan1°が無理数であることを示しなさい。
【問題2】cos1°が無理数であることを示しなさい。
【問題3】sin1°が無理数であることを示しなさい。
http://open.mixi.jp/user/14882521/diary/1282208078
無題 Name 名無し 18/09/29(土)01:11:39 No.110161 del
正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。
この八面体を真上から見た図(平面図)をかけ。
(2008年東大理系第3問)
無題 Name 名無し 18/09/29(土)15:19:35 No.110162 del
tanα, tanβ が両方とも有理数だとすると、
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) も有理数になる。
したがって、tanαが有理数のとき、
tan2α=tan(α+α)も有理数、tan3α=tan(2α+α)も有理数、tan5α=tan(2α+3α)も有理数になる。
いま tan1°が有理数と仮定すると、
tan2°も有理数、tan10°も有理数、tan20°も有理数、tan60°も有理数になる。
ところが tan60°=√3 で無理数だから、これは矛盾である。
したがって tan1°は有理数ではない。
無題 Name 名無し 18/09/29(土)20:09:14 No.110163 del
>tanαが有理数のとき、
>tan2α=tan(α+α)も有理数、tan3α=tan(2α+α)も有理数、>tan5α=tan(2α+3α)も有理数になる。
どうして?
無題 Name 名無し 18/09/30(日)01:06:41 No.110165 del
ちょっと省略して書きすぎたかも。
> tanα, tanβ が両方とも有理数だとすると、
> tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) も有理数になる。
これを《補題》とする。
tanαが有理数のとき、
《補題》のβをαで置換するとtan2αも有理数になる。…@
《補題》のβを2αで置換すると@と合わせてtan3αも有理数になる。…A
《補題》のαを2αで置換し、βを3αで置換すると@, Aと合わせてtan5αも有理数になる。
これで良いでしょうか。
無題 Name 名無し 18/09/30(日)02:55:34 No.110166 del
有理数の四則演算の結果は有理数になるって自明のように使っていいんだろうかとか考え出すと解答がどんどん長くなる
無題 Name 名無し 18/09/30(日)11:25:27 No.110169 del
√3が無理数なのも自明として扱っていいかのかのも悩む
無題 Name 名無し 18/09/30(日)19:21:23 No.110170 del
>ちょっと省略して書きすぎたかも。
ああごめん、一番上の加法定理見逃してたわ
無題 Name 名無し 18/09/30(日)20:05:19 No.110171 del
> 有理数の四則演算の結果は有理数になるって自明のように使っていいんだろうかとか考え出すと解答がどんどん長くなる
> √3が無理数なのも自明として扱っていいかのかのも悩む

入試の答案ならきちんと証明するべきかも知れないけど、そこは掲示板なので細かいところはご容赦願います。
無題 Name 名無し 18/09/30(日)20:21:27 No.110172 del
    1538306487557.png-(10945 B) サムネ表示
10945 B
> 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。
> この八面体を真上から見た図(平面図)をかけ。
> (2008年東大理系第3問)

こんな感じの図になるかも。
正八面体には面が8個、頂点が6個、辺が12個あり、
頂点の座標は(±1,0,0), (0,±1,0), (0,0,±1) と表すことができる。
無題 Name 名無し 18/10/01(月)21:05:21 No.110173 del
図が汚いのはご容赦ください。
本当はきれいな正六角形になるはずですが上手に描けませんでした。
無題 Name 名無し 18/10/01(月)21:22:46 No.110174 del
    1538396566762.png-(109835 B) サムネ表示
109835 B
2017 聖マリ
1〜3は定番だけど、4からが解いてて楽しい
無題 Name 名無し 18/10/02(火)23:29:52 No.110176 del
> 2017 聖マリ
(1) は (i) で a=b=0とすると f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) となる。
これを移項すると f(0)=0 になる。

(2) は (ii) で a=b=1とすると f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1) となる。
(iii) より f(1) は 0 ではないので割ることができるから f(1)=1 となる。

(3) は (i) で a=n-1, b=1とすると
f(n) = f((n-1)+1) = f(n-1)+f(1) = f(n-1)+1 となる。
また、f(1)=1 だから帰納法より f(n)=n となる。
無題 Name 名無し 18/10/02(火)23:30:29 No.110177 del
書き込みをした人によって削除されました
無題 Name 名無し 18/10/02(火)23:33:10 No.110178 del
(4) 正の有理数 q を q=n/m とおく。(n, m は正の整数)

(ii) で a=n, b=1/m とすると f(q) = f(n/m) = f(n*(1/m)) = f(n)*f(1/m) となる。
f(n)は分かるが、f(1/m)が分からないので次のように求める。

(ii) で a=m, b=1/m とすると f(1) = f(m*(1/m)) = f(m)*f(1/m) となる。
f(1)=1, f(m)=m だから f(1/m)=1/m である。

以上のことから f(q) = f(n/m) = f(n*(1/m)) = f(n)*f(1/m) = n*(1/m) = n/m = q となる。
無題 Name 名無し 18/10/02(火)23:33:34 No.110179 del
書き込みをした人によって削除されました
無題 Name 名無し 18/10/02(火)23:36:22 No.110180 del
(5) tは正の実数だから、√t も実数である。
(ii) で a=√t, b=√t とすると f(t) = f(√t*√t) = f(√t)*f(√t) = f(√t)^2 ≧ 0
となるから、f(t)は0または正であることが分かる。

また、tは正の実数だから、1/t も実数である。
(ii) で a=t, b=1/t とすると f(1) = f(t*(1/t)) = f(t)*f(1/t) となる。
一方、f(1)=1 だから、f(t)は0ではないことが分かる。

以上のことから、f(t)>0 であるといえる。

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