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集合のド・モルガンの法則 Name 菩菩紙御炉 17/08/26(土)23:16:46 No.107244 del 12月16日頃消えます
※A~ は A の補集合、x∈/A は、x が A に所属しないことを表します。
 集合のド・モルガンの法則   (A∪B)~ ⇔ A~∩B~   の証明で
    x∈(A∪B)~
  ⇔ x∈/A∪B ………… (#1)
  ⇔ x∈/A∧x∈/B …… (#2)
  ⇔ x∈A~∧x∈B~ ⇔ x∈A~∩B~
という解答があるのですが、ベン図に頼らないで(#1)から(#2)の変形を理解することは、私には難しいです。
 よく考えると
  x∈/A∪B ⇔ ¬(x∈A∨x∈B)
としてもよさそうなので、それなら論理のド・モルガンの法則
  ¬(p∨q) ⇔ ¬p∧¬q (こちらは真理値表を作成することで簡単に納得できました)
を使って
  ¬(x∈A∨x∈B) ⇔ ¬(x∈A)∧¬(x∈B) ⇔ x∈A~∧x∈B~.
 これでいいのでしょうか?
削除された記事が3件あります.見る
無題 Name 名無し 17/08/29(火)12:37:03 No.107261 del
真理値表で納得できるなら
xの存在箇所で場合分けした表を作れば納得できるのでは?
無題 Name 名無し 17/09/02(土)16:24:08 No.107301 del
集合算は基本的には一階の述語論理の形式に、対象と呼ばれる変数(これは結局は後に集合とみなされる)を加え、さらに二項結合子として”∈”を導入したもの。
だから、当然に述語論理の形式規則をそのまま使える。

もう少し突っ込んで言えば、述語論理の理論は「論理式」・「文」というような対象を変数で表して、それらの間の関係性を二項結合子の”∧”,”∨”,”⇒”で、対象の否定を”¬”で、加えて全称と特称の量化子(束縛記号)である∀,∃という論理記号たちによって表現する規則を形式的にまとめたもの。
理論面はもうちょっと込み入っているが、ツールとして扱うには、これらの諸規則が扱えればいい。
わかりやすい論理システムとしては自然演繹で十分すぎる。
無題 Name 名無し 17/09/02(土)16:35:03 No.107302 del
書き込みをした人によって削除されました
無題 Name 名無し 17/09/02(土)16:36:46 No.107303 del
この前提を頭に入れておいて、述語論理で今まで得体のしれない文として扱っていた変数にある一定の具体性を与えたものが集合論だと考えるといい。
集合論の形式における「集合論言語の項・文」とは簡単に言えば、対象と呼ばれる変数(繰り返すが対象とは結局は集合となる)に二項結合子”∈”と”=”を施して得られる基本的な項を集合論的な論理式とみなした物のこと。
それらの扱いを述語論理で処理するのだから、質問のように、論理のド・モルガンの法則を用いても何ら問題はないんだよ。
無題 Name 名無し 17/09/02(土)17:05:19 No.107304 del
書き込みをした人によって削除されました
無題 Name 名無し 17/09/02(土)17:15:16 No.107305 del
>(#1)から(#2)の変形を理解することは、私には難しいです。
そこのわかりにくいとしている変形は間違いではないが雑で、丁寧にやると、スレ主のように”∈”に立ち返った方法のほうが素直なやり方といえる。
”∉”(スレ主は”∈/"で表している)という結合子も”∈”と”=”を基本として、

A∈/B := ¬(A∈B)

として定義される。
":="は「左を右で定義する」と読む。
他の基本的な集合算の記号である”∩”,”∪”,”⊆”などや、空集合や補集合なども”∈”と”=”と述語論理の記号を使って定義されているだろう。
だから、下手な省略をせずにスレ主のように述語論理の規則に書き直したほうが丁寧ではある。
結局は(#1)から(#2)の変形というのも定義に帰れば論理のド・モルガンの法則を使っているハズのものを省略しているだけなのだ。
無題 Name 名無し 17/09/11(月)01:42:25 No.107328 del
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